একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 1 : $\sqrt{2}$ হলে এর বৃহত্তম কোনটির মান কত?

🔎 মনে করি, ত্রিভুজটির বাহু তিনটি যথাক্রমে \(a = x\), \(b = x\) এবং বৃহত্তম বাহু \(c = \sqrt{2}x\)।
\[\begin{aligned} a^2 + b^2 &= x^2 + x^2 = 2x^2 \\ c^2 &= (\sqrt{2}x)^2 = 2x^2 \\ \therefore a^2 + b^2 &= c^2 \end{aligned}\] পীথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিজ্ঞা অনুযায়ী, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু, তাই অতিভুজের বিপরীত কোণটিই হবে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ। সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান \(90^\circ\)।

⚡ দ্রুত কৌশল: বাহুত্রয়ের বর্গের অনুপাত পরীক্ষা করি: \(1^2 : 1^2 : (\sqrt{2})^2 = 1 : 1 : 2\)। যেহেতু প্রথম দুটি বর্গের সমষ্টি তৃতীয়টির সমান (\(1 + 1 = 2\)), তাই এটি সরাসরি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং এর বৃহত্তম কোণটি সর্বদাই \(90^\circ\)।